Sabtu, 08 Februari 2020
Limas adalah bangun ruang yang mempunyai alas berbentuk segi n (segitiga, segi empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya mempunyai bentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik yang di sebut dengan titik puncak limas. Nama limas ditentukan berdasarkan bentuk bidang alasnya. Jika alasnya berbentuk segitiga maka limas tersebut dinamakan limas segitiga. Jika alas suatu limas berbentuk segi lima beraturan maka limas tersebut dinamakan limas segi lima beraturan. Contoh limas segiempat salah satunya adalah piramida Mesir.
Kubus adalah adalah bangun 3 Dimensi yang memiliki 6 buah sisi dengan semua rusuknya sama panjang dan memiliki 4 sisi tegak. Kubus dapat dijadikan sebagai media pembelajaran untuk mencari rumus volume limas yang dapat dibuktikan dengan volume kubus. Volume limas dapat diperoleh dari volume kubus seperti pada gambar di bawah ini.
Perhatikan kubus pada gambar di atas yang keempat diagonal ruangnya saling berpotongan
pada satu titik. Terbentuk bangun apakah antar sisi dengan perpotongan diagonal ruang kubus?
Bangun yang terbentuk adalah limas yang terdiri dari 6 buah limas yang berukuran sama. Masing-masing limas beralaskan sisi kubus dan tinggi masing-masing limas sama dengan setengah rusuk kubus. satu limas yang terbentuk yaitu T.ABCD.
6 V = s x s x s
= ( s x s ) x s
= ( s x s ) x ( 1/2s x 2 ), jika s x s = L dan ½ s = t
= L x t x 2
6 V = 2 Lt
Volume 1 limas adalah 6V = 2 Lt, V = 2/6 Lt = 1/3 Lt
L = luas alas
t = tinggi limas
Ayo Kita Menggali Informasi
Contoh 1 :
Sebuah limas tegak alasnya berbentuk persegipanjang yang sisi-sisinya 18 cm dan 32 cm. Puncak limas tepat berada di atas pusat alas dan tingginya 42 cm. Hitunglah volume limas.
Volum=1/3 x alas x tinggi
= 1/3 x (18 x 32)
= 192 x 42 = 8.064 cm
Contoh 2 :
Sebuah atap rumah berbentuk limas dengan alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 8 m dan tinggi 4m hendak ditutupi dengan genteng yang berukuran 40 x 20 cm. Hitunglah banyak genteng yang diperlukan.
Luas permukaan atap terdiri atas 4 segitiga samakaki
Diketahui genteng berukuran 40 x 20 = 800 cm² atau 0,8 m²
Sehingga banyak genting yang dibutuhkan = 16√2/0,8 = 200√2 = 282,843 = 283 buah
Ayo Kita Menalar
1. Perhatikan gambar di bawah sebagai kubus sempurna dan disebelahnya merupakan kubus yang sama dengan salah satu bagian sudut dipotong dengan potongan berbentuk limas. Jika panjang rusuk kubus 30 cm, maka bagaimana kalian menentukan volume bangun baru? Jelaskan.
Jadi volume bangun baru adalah 22.200 cm³
2. Alas sebuah limas berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal-diagonalnya 10 cm dan 15 cm. Tinggi limas adalah 18 cm. Jika diagonal-diagonal alas maupun tingginya diperbesar 3 kali, maka tentukan perbandingan volume limas sebelum dan sesudah diperbesar.
Volume awal limas :
= 1/2 x d₁ x d₂ x t
= 1/2 x 10 x 15 x 18
= 1.350 cm³
Diagonal dan tingginya di perbesar 3x
d₁ = 30cm
d₂ = 45cm
t = 54cm
Volume limas setelah diperbesar :
= 1/2 x d₁ x d₂ x t
= 1/2 x 30 x 45 x 54
= 36.450 cm³
Perubahan volume limas adalah 36.450 - 1.350 = 35.100cm³
Soal Latihan
1. Kerangka model limas dengan alas berbentuk persegi panjang dengan panjang lebarnya masing-masing 16 cm dan 12 cm, sedangkan tinggi limas 24 cm. Berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka model limas tersebut?
Panjang 1/2 diagonal alas = 1/2 x √16²+12²
= 1/2 x √256+144
= 1/2 x √400
= 1/2 x 20
= 10 cm
Panjang sisi tegak
= √24²+10²
= √576+100
= √676 = 26 cm
Panjang kawat = 2 (16 + 12 + 2 x 26) = 2(28 + 52) = 160 cm
2. Sebuah limas tegak alasnya berbentuk persegi panjang yang sisi-sisinya 18 cm dan 32 cm. Puncak limas tepat berada diatas pusat alas dan tingginya 42 cm. Hitunglah volume limas.
3. Suatu limas alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi 6 cm dan volumenya 60 cm³. Hitunglah tinggi limas tersebut.
60 = 12 t
t = 60/12 = 5 cm
4. Sebuah limas dengan alas berbentuk persegi mempunyai luas alas 81 cm² dan volume limas 162 cm³. Tentukan luas seluruh sisi tegak limas tersebut.
Luas alas = s x s, 81 = s², s = 9 cm
162 = 27 t, t = 6cm
Tinggi sisi tegak limas (bentuk segitiga) dengan phytagoras
= √ (9 : 2)² + 6²
= √4.5² + 6²
= √20.25 + 36
= √56,25
= 7,5 cm
Luas seluruh sisi tegak
= 4 (1/2 x a x t)
= 4 (1/2 x 9 x 7,5)
= 4 (33,75)
= 135cm²
5. Volume limas P.ABCD di samping ini 48.000 m³. Jika alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi 60 m, maka berapakah panjang garis PE?
48.000 = 1.200 x t
t = 48.000 : 1.200
t = 40 m
PE² = √t² + (1/2 s)²
PE² = √40² + 30²
PE² = √1.600 + 900
PE² = √2.500
PE = 50 m
6. Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Tentukan volume limas E.ABCD.
EB = diagonal sisi = r√2 = 2√2 cm
EC = diagonal ruang = r√3 = 2√3 cm
Volume Limas E.ABCD = (Luas alas . tinggi limas)/3
= (Luas ABCD . AE)/3
= (2²) . 2)/3
= (4 . 2)/3
= 8/3
= 2,67 cm³
7. Atap sebuah rumah berbentuk limas dengan alas berupa persegi panjang berukuran 25 m × 15 m. Tinggi atap itu (tinggi limas) adalah 7 m. Volume udara yang terdapat dalam ruang atap itu adalah...
Diketahui :
Ukuran alas = 25 x 15
t = 7 m
Maka :
Luas alas = p x l
= 25 x 15
= 375 m²
V = 1/3 luas alas x t
= 1/3 x 375 x 7
= 875 cm³
8. Sebuah limas dan prisma segidelapan beraturan berada di dalam kubus yang alasnya saling berimpitan, seperti terlihat pada gambar. Jika panjang rusuk kubus 1 cm, maka volume Prisma di luar limas adalah.???
9. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 10 cm dan lebar 8 cm. Tinggi limas adalah 15 cm. Jika sisi-sisi alasnya diperbesar 1 1/2 kali, tentukan besar perubahan volume limas tersebut.
Volume awal = 1/3 x Luas alas x tinggi
= 1/3 x 10 x 8 x 15
= 400³
Volume akhir ( sisi alas diperbesar) = 1/3 x (3/2 x La) x t
= 1/3 x (3/2 La) x t
= 1/3 x (3/2 x 80) x 15
= 1/3 x 120 x 15
= 600 cm³
Perubahan volume = Volume akhir - Volume awal = 600 - 400 = 200
Kubus adalah adalah bangun 3 Dimensi yang memiliki 6 buah sisi dengan semua rusuknya sama panjang dan memiliki 4 sisi tegak. Kubus dapat dijadikan sebagai media pembelajaran untuk mencari rumus volume limas yang dapat dibuktikan dengan volume kubus. Volume limas dapat diperoleh dari volume kubus seperti pada gambar di bawah ini.
pada satu titik. Terbentuk bangun apakah antar sisi dengan perpotongan diagonal ruang kubus?
Bangun yang terbentuk adalah limas yang terdiri dari 6 buah limas yang berukuran sama. Masing-masing limas beralaskan sisi kubus dan tinggi masing-masing limas sama dengan setengah rusuk kubus. satu limas yang terbentuk yaitu T.ABCD.
- Berapa banyak limas yang dapat membentuk kubus? 6 buah limas
- Berapa tinggi limas tersebut jika dibandingkan dengan tinggi kubus? Tinggi limas = 1/2 Tinggi kubus
- Berapa panjang sisi alas limas? Panjang sisi alas limas = Panjang sisi alas persegi
- Berapakah Volume dari Limas tersebut? Jika volume masing-masing limas pada gambar adalah ‘V’ maka volume enam buah limas sama dengan volume kubus, sehingga diperoleh hubungan berikut.
6 V = s x s x s
= ( s x s ) x s
= ( s x s ) x ( 1/2s x 2 ), jika s x s = L dan ½ s = t
= L x t x 2
6 V = 2 Lt
Volume 1 limas adalah 6V = 2 Lt, V = 2/6 Lt = 1/3 Lt
Jadi Volume limas = 1/3 x L x tKeterangan:
L = luas alas
t = tinggi limas
Ayo Kita Menggali Informasi
Contoh 1 :
Sebuah limas tegak alasnya berbentuk persegipanjang yang sisi-sisinya 18 cm dan 32 cm. Puncak limas tepat berada di atas pusat alas dan tingginya 42 cm. Hitunglah volume limas.
= 1/3 x (18 x 32)
= 192 x 42 = 8.064 cm
Contoh 2 :
Sebuah atap rumah berbentuk limas dengan alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 8 m dan tinggi 4m hendak ditutupi dengan genteng yang berukuran 40 x 20 cm. Hitunglah banyak genteng yang diperlukan.
Luas permukaan atap terdiri atas 4 segitiga samakaki
Sehingga banyak genting yang dibutuhkan = 16√2/0,8 = 200√2 = 282,843 = 283 buah
Ayo Kita Menalar
1. Perhatikan gambar di bawah sebagai kubus sempurna dan disebelahnya merupakan kubus yang sama dengan salah satu bagian sudut dipotong dengan potongan berbentuk limas. Jika panjang rusuk kubus 30 cm, maka bagaimana kalian menentukan volume bangun baru? Jelaskan.
2. Alas sebuah limas berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal-diagonalnya 10 cm dan 15 cm. Tinggi limas adalah 18 cm. Jika diagonal-diagonal alas maupun tingginya diperbesar 3 kali, maka tentukan perbandingan volume limas sebelum dan sesudah diperbesar.
Volume awal limas :
= 1/2 x d₁ x d₂ x t
= 1/2 x 10 x 15 x 18
= 1.350 cm³
Diagonal dan tingginya di perbesar 3x
d₁ = 30cm
d₂ = 45cm
t = 54cm
Volume limas setelah diperbesar :
= 1/2 x d₁ x d₂ x t
= 1/2 x 30 x 45 x 54
= 36.450 cm³
Perubahan volume limas adalah 36.450 - 1.350 = 35.100cm³
Soal Latihan
1. Kerangka model limas dengan alas berbentuk persegi panjang dengan panjang lebarnya masing-masing 16 cm dan 12 cm, sedangkan tinggi limas 24 cm. Berapa panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka model limas tersebut?
Panjang 1/2 diagonal alas = 1/2 x √16²+12²
= 1/2 x √256+144
= 1/2 x √400
= 1/2 x 20
= 10 cm
Panjang sisi tegak
= √24²+10²
= √576+100
= √676 = 26 cm
Panjang kawat = 2 (16 + 12 + 2 x 26) = 2(28 + 52) = 160 cm
2. Sebuah limas tegak alasnya berbentuk persegi panjang yang sisi-sisinya 18 cm dan 32 cm. Puncak limas tepat berada diatas pusat alas dan tingginya 42 cm. Hitunglah volume limas.
| Volume = | 1 | x luas alas x t |
| 3 |
| Volume = | 1 | x 18 x 32 x 42 |
| 3 |
| Volume = | 8.064 cm³ |
3. Suatu limas alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi 6 cm dan volumenya 60 cm³. Hitunglah tinggi limas tersebut.
| Volume = | 1 | x luas alas x t |
| 3 |
| 60 = | 1 | x luas alas x t |
| 3 |
| 60 = | 1 | x 6 x 6 x t |
| 3 |
t = 60/12 = 5 cm
4. Sebuah limas dengan alas berbentuk persegi mempunyai luas alas 81 cm² dan volume limas 162 cm³. Tentukan luas seluruh sisi tegak limas tersebut.
Luas alas = s x s, 81 = s², s = 9 cm
| Volume = | 1 | x luas alas x t |
| 3 |
| 162 = | 1 | x 81 x t |
| 3 |
Tinggi sisi tegak limas (bentuk segitiga) dengan phytagoras
= √ (9 : 2)² + 6²
= √4.5² + 6²
= √20.25 + 36
= √56,25
= 7,5 cm
Luas seluruh sisi tegak
= 4 (1/2 x a x t)
= 4 (1/2 x 9 x 7,5)
= 4 (33,75)
= 135cm²
5. Volume limas P.ABCD di samping ini 48.000 m³. Jika alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi 60 m, maka berapakah panjang garis PE?
| Volume = | 1 | x luas alas x t |
| 3 |
| 48.000 = | 1 | x 60 x 60 x t |
| 3 |
t = 48.000 : 1.200
t = 40 m
PE² = √t² + (1/2 s)²
PE² = √40² + 30²
PE² = √1.600 + 900
PE² = √2.500
PE = 50 m
6. Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Tentukan volume limas E.ABCD.
EC = diagonal ruang = r√3 = 2√3 cm
Volume Limas E.ABCD = (Luas alas . tinggi limas)/3
= (Luas ABCD . AE)/3
= (2²) . 2)/3
= (4 . 2)/3
= 8/3
= 2,67 cm³
7. Atap sebuah rumah berbentuk limas dengan alas berupa persegi panjang berukuran 25 m × 15 m. Tinggi atap itu (tinggi limas) adalah 7 m. Volume udara yang terdapat dalam ruang atap itu adalah...
Diketahui :
Ukuran alas = 25 x 15
t = 7 m
Maka :
Luas alas = p x l
= 25 x 15
= 375 m²
V = 1/3 luas alas x t
= 1/3 x 375 x 7
= 875 cm³
8. Sebuah limas dan prisma segidelapan beraturan berada di dalam kubus yang alasnya saling berimpitan, seperti terlihat pada gambar. Jika panjang rusuk kubus 1 cm, maka volume Prisma di luar limas adalah.???
9. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 10 cm dan lebar 8 cm. Tinggi limas adalah 15 cm. Jika sisi-sisi alasnya diperbesar 1 1/2 kali, tentukan besar perubahan volume limas tersebut.
Volume awal = 1/3 x Luas alas x tinggi
= 1/3 x 10 x 8 x 15
= 400³
Volume akhir ( sisi alas diperbesar) = 1/3 x (3/2 x La) x t
= 1/3 x (3/2 La) x t
= 1/3 x (3/2 x 80) x 15
= 1/3 x 120 x 15
= 600 cm³
Perubahan volume = Volume akhir - Volume awal = 600 - 400 = 200